What Counts as the Same どこまでを同じものと認めるか

I wrote a detector and let a machine look for the subject. Most of what a listener recognizes could be put into rules — and a division I had never taught it came out of the density alone. But what couldn't be transcribed turned out to be two different things: one was a rule I had failed to carry over, and only the other was a gap in the theory itself. 検出器を書いて、機械に主題を探させた。聴けば分かることの大半は規則に写せて、教えていない区分まで密度の計算だけから出てきた。だが写せなかったものを分けてみると二種類あって、片方は自分が運ばなかった規則で、理論の側の空白はもう片方だけだった。

Bach's Art of Fugue derives eighteen pieces from a single twelve-note subject. Five operations are applied to it — transposition, inversion, retrograde, augmentation, diminution — and every one of them can be written as a calculation. So when I set out to visualize the work, I wrote the subject detector myself and ran it straight against the score data.

バッハの『フーガの技法』は、十二音の主題ひとつから十八曲が書かれている。かけられる操作は移調・反行・逆行・拡大・縮小の五つで、どれも計算で書ける形をしている。だから可視化しようとしたときに、譜面データへ直接かける主題の検出器を自分で書いた。

What came out wasn't what I had expected. The pattern I was setting out to find was already there, before I had decided how to look for it. And the moment I decided how to look, something turned up that I couldn't catch at all. This is about that.

作ってみたら、思っていたのと違うことが起きた。探そうとしていたパターンは、探し方を決めるより先にそこにあった。そして探し方を決めた途端に、どうしても取れないものが出てきた。ここではその話をする。

1Letting a Machine Look機械に探させてみる

While I was building the figure this far, I was picking out by eye where the subject appears — following the score, checking by ear, placing it in the figure. That was enough to make the figure work, but as I built it, something else started to bother me. This task should be handable to a machine. The subject can be defined as a sequence of twelve pitch intervals. Inversion is a sign flip; augmentation is a constant multiple of note values. All of it can be written as computation.

図をここまで作る間、主題がどこに現れるかは自分の目で拾っていた。楽譜を追い、耳で確かめ、図に置く。それで図は成立するのだが、作っているうちに別のことが気になってきた。この作業は機械に渡せるはずだ、と。主題は十二音の音程の並びで定義できる。反行は符号の反転であり、拡大は音価の定数倍である。どれも計算で書ける。

I took the score from Stanford's KernScores, the score database maintained by Craig Sapp, where the full Art of Fugue is available.² I pulled out the first and seventh pieces. Not a single note was entered by hand — all of it comes from the score data. Two thousand four hundred twenty-five notes, every one of them.

譜面はスタンフォードの KernScores から取った。クレイグ・サップが整備している楽譜データベースで、『フーガの技法』は全曲が揃っている²。第一曲と第七曲を抜き出した。音符は一つも手で打っていない。二千四百二十五音、すべて譜面由来である。

I wrote detection as matching sequences of intervals. But an exact match alone isn't enough. In a real fugue, the answer is adjusted in pitch to fit the scaffolding of the key — a subject that begins with a perfect fifth becomes a perfect fourth in the answer. So I built matching that allows for variant forms. For augmentation and diminution, I estimated the ratio from the median of the note-value ratios.

検出は音程の列の照合として書いた。ただし単純な一致では足りない。実際のフーガでは、応答は調の骨格に合わせて音程が微調整される。完全五度で始まった主題が、応答では完全四度になる。そこで変異形を許す照合にした。拡大と縮小のほうは、音価の比の中央値から倍率を推定させる。

The result: eleven entries in the first piece, sixteen in the seventh. The breakdown in the seventh piece is five inversions, three augmentations, one diminution. The multiples that show up, besides the original, are two, four, and one-third. And near the end there's a stretch where the subject, drawn out four times its length, moves slowly across roughly twenty-four beats while the original passes underneath it twice. The same twelve notes, sounding at two different time scales at once.

結果として、第一曲で十一のエントリー、第七曲で十六のエントリーが出た。第七曲の内訳は反行が五、拡大が三、縮小が一である。倍率は原型のほかに二倍、四倍、三分の一が現れる。そして終盤に、四倍へ引き伸ばされた主題が二十四拍あまりかけてゆっくり進み、その下を原型が二度通り過ぎていく区間がある。同じ十二音が、二つの時間の尺度で同時に鳴っている。

2A Division I Never Taught, Emerging教えていない区分が、出てきた

What was interesting came next.

面白かったのはその次だった。

In talking about the structure of a fugue, the terms exposition, episode, and stretto get used. Of these, only the exposition I defined myself — as the span until all four voices have stated the subject once. I gave no definition to the other two. What I wrote was only a density calculation: where on the timeline entries occur, and how many. Where two or more voices overlap, I let the threshold call it stretto; where not a single entry is sounding, episode.

フーガの構造を語るとき、提示部、間奏、ストレットという区分が使われる。このうち提示部だけは、四つの声部が主題を出し終えるまで、と私が定義した。残る二つには定義を与えていない。書いたのは、エントリーが時間軸のどこにいくつあるか、という密度の計算だけである。二つ以上の声部が重なっていればストレット、エントリーが一つも鳴っていなければ間奏、という閾値で線を引かせた。

The seventh piece runs 244 beats in total. Of these, 58 beats were flagged as exposition, 92 as episode, 27 as stretto. The rest is where exactly one subject is sounding.

第七曲は全二百四十四拍で、そのうち提示部が五十八拍、間奏が九十二拍、ストレットが二十七拍に分かれた。残りは主題が一つだけ鳴っている区間である。

The published analysis names only three places in this fugue where the subject is not sounding: part of measure 18, measures 32 through 34, and the closing four measures. Every one of the three fell inside a stretch the machine had called an episode. But the machine had called three times that much. Why it overreached is the next section's business.

公表されている分析は、この曲で主題が鳴っていない場所を三箇所しか挙げていない。小節十八の一部、三十二から三十四、そして最後の四小節である。機械が間奏と判定した区間は、その三箇所をすべて含んでいた。ただし含んだうえで、三倍の広さを取っていた。広く取りすぎた理由は次の節で扱う。

Thinking about it, this is circular. The division was, from the start, defined by how the subject is stated, so it's no surprise that the division falls out of how the subject is stated. Even so, a fact remains: a machine that doesn't know the names drew its lines exactly where the names already are. The division isn't an interpretation someone laid over the music after the fact — it was sitting there in the score, in a measurable form.

考えてみればこれは循環している。区分はもともと「主題がどう出ているか」で定義されているのだから、主題の出方から区分が出るのは当然だ。それでも、名前を知らない機械が、名前のついている場所に線を引いたという事実は残る。区分は誰かが後から音楽に被せた解釈ではなく、譜面の側に測れる形で置かれていた。

One more thing appears when the first and seventh pieces are set side by side. The first proceeds almost entirely in the original form; no inversion, no augmentation appears. The seventh has five inversions, three augmentations, and they run simultaneously. Across the collection, the number of operations used and how they overlap increases by stages. That is difficulty by design — and that design, too, comes out when you count.

もう一つ、第一曲と第七曲を並べると見えるものがある。第一曲はほとんど原型だけで進む。反行も拡大も出てこない。第七曲は反行が五つ、拡大が三つ、しかも同時に走る。曲集を通して、使われる操作の数と重なり方が段階的に増えていく。これは難易度が設計されているということで、その設計もまた、数えれば出てくる。

3Something Wasn't Captured取れなかったものがある

But something wasn't captured.

だが、取れなかったものがある。

The misses are already there in the last section's numbers. The episode total swelled to three times its size because the machine counted stretches where the subject was sounding but went undetected as stretches where nothing was. There are entries a human recognizes as the subject at once, and my rules don't catch them.

取りこぼしは、前の節の数字にもう出ている。間奏が三倍に膨らんだのは、主題が鳴っているのに検出できなかった区間を、機械が「鳴っていない」と数えたからである。人間が見れば主題だと分かるのに、私の書いた規則には引っかからないエントリーがある。

One example. At beat sixteen of the seventh piece, the subject appears in the bass voice — inverted, and stretched to four times its length.

例をひとつ。第七曲の十六拍目、バス声部に主題が出る。これが反行であり、かつ四倍に引き伸ばされている。

Going back and cross-checking the score data by hand, I was surprised. The note values were exactly right — all twelve at a clean fourfold ratio, not a single one off. What was off was only the sequence of intervals. And the way it was off had a reason. The inversion I had written flips pitch by counting semitones. What Bach writes here is an inversion that folds over the scale degree instead. Flip the degree on the D-minor scale, and the semitone count shifts by one depending on where you are. Six of the eleven intervals showed that shift — every shift a single semitone except the opening leap, which was two, matching the same key-based adjustment used in the answer.

あとから譜面データを手で突き合わせてみて、意外だった。音価のほうは十二音がすべてきれいに四倍で、比としては一つも外れていない。外れていたのは音程の列だけである。しかもその外れ方には理由があった。私が書いた反行は、音程を半音の数で反転させる。バッハがここで書いているのは、音階の度数を折り返す反行である。二短調の音階の上で度数を反転させると、半音の数は場所によって一つずれる。十一の音程のうち六つがそのずれを起こしていて、私の許容幅を超えた。ずれ幅はどれも半音一つ、冒頭の跳躍だけが二つ分で、これは応答のときと同じ調の骨格による調整である。

In other words: I had allowed key-based adjustment on the side of the answer, while disallowing it on the side of inversion. The ear catches it. The eye, following the score, catches it. The machine did not.

つまり私は、応答の側では調に合わせたずれを許しておきながら、反行の側では許していなかった。耳で聴けば分かる。目で追っても分かる。機械には見えなかった。

One more. In the episodes, fragments of the subject chain together, changing shape as they go — what's called a sequence. I hadn't even made this a target for detection. Where a fragment of the subject ends and a mere figure begins was a line I couldn't draw, because I had no grounds to draw one. I didn't skip drawing the line — I didn't have the basis to draw it.

もうひとつ。間奏部では主題の断片が形を変えながら連鎖していく。ゼクエンツと呼ばれる書き方だ。これは検出の対象にすらしていない。どこまでが主題の断片で、どこからが単なる音型なのか、その線が引けなかったからである。線を引かなかったのではなく、引く根拠を自分が持っていなかった。

The misses all ran the same way. The detector overlooked subjects that were sounding, but it never once counted a subject where none was. A rule too coarse errs in one direction only — toward admitting too little.

取りこぼしの向きは、いつも同じだった。鳴っている主題を見落とすことはあっても、鳴っていない場所を主題ありと数えたことは一度もない。粗い規則は、認める範囲を狭くする方向にしか間違えない。

The rules I wrote are coarser than the rules Bach was following. We're calling both of them "rules," but they aren't the same thing.

私が書いた規則は、バッハが従っていた規則より粗い。同じ「規則」という言葉で呼んでいるが、別のものだ。

4Rules, and How Far to Loosen Them規則と、規則の緩め方

Let me line up what I've found.

分かったことを並べてみる。

The seed is twelve notes. There are five operations, each of them writable as geometry. The divisions come out of the density without being told their names. This much could be transcribed to the machine. What couldn't was: the variant shaped by the scaffolding of the key, and the boundary between a subject and a fragment.

種は十二音である。操作は五つで、どれも幾何として書ける。区分は名前を教えなくても密度から出てくる。ここまでは機械の側に写せた。写せなかったのは、調の骨格に合わせて音程がずれた変形と、主題と断片の境目だった。

The two things that couldn't be transcribed looked alike, but their natures differ.

写せなかった二つは、同じように見えて、性質が違った。

The inversion adjusted to the key is a shortfall on my side. That the answer shifts its intervals to fit the key is written down precisely in the treatises. Prout spends chapter after chapter on nothing but the case-by-case correspondence between subject and answer. I had read that rule and implemented it. What I didn't do was generalize it — carry it across to the inversion, where the same adjustment happens. The rule was sitting right next door, and I simply didn't take it any further.

調に合わせた反行のほうは、私の側の不足である。応答が調に合わせて音程を変えることは、教則書に精密に書かれている。プラウトは主唱と応答の音程対応の場合分けだけで章をいくつも費やしている。私はその規則を読んで実装していた。だが同じ調整が反行にも起きることへ、一般化しなかった。隣に規則があったのに、そこから先へ運ばなかっただけである。

The boundary of the sequence is not like that. Here there is no line on the theory's side either. Temperley opens his paper on the perception of motivic fragments by saying that parallelism is not an easy word to define, shows that the same figure can be heard as the subject or not depending on where it falls in the metre, and calls the difference difficult to describe. I couldn't draw the line because nobody has the grounds to draw it.

ゼクエンツの境界のほうは、そうではない。ここには理論の側にも線が無い。テンパリーは主題断片の知覚を扱った論文の冒頭に、反復は定義しやすい語ではないと置き、同じ音型が拍節上のどこに落ちるかで主題に聞こえたり聞こえなかったりすることを示して、その違いを記述しがたいと書いている。私が線を引けなかったのは、引く根拠を誰も持っていないからだった。

Split apart, then, what couldn't be transcribed was two different things. One was a rule I failed to carry over. Only the other is an understanding that genuinely isn't written down.

分けてみると、機械に写せなかったものは二種類あったことになる。片方は自分が運ばなかった規則で、もう片方だけが、本当に書かれていない了解である。

The question still stands in the same form, though. Do you still call it the same subject when six of twelve semitone counts differ? Do you count a three-note fragment as part of the subject? It is a judgment about how far something counts as the same. On Bach's side, that line was drawn — or at least, written as though it were drawn. On mine, it wasn't.

それでも問いは同じ形で残る。半音の数が六箇所ちがう十二音を、まだ同じ主題と呼ぶのか。三音だけの断片を、主題の一部として数えるのか。どこまでを同じものと認めるか、という判断である。バッハの側にはその線が引かれていた。少なくとも、引かれているものとして書かれていた。私の側には無かった。

What's striking is that on the side where the rules are written most precisely, the people who wrote them say the same thing. Grove's first edition, immediately after listing the rules of tonal fugue, puts it this way: "Simple as are the foregoing Rules, great judgment is necessary in applying them." It goes on to say that there are subjects only the insight of genius can handle. The side that wrote the rules is saying the rules alone are not enough.

面白いのは、規則が最も精密に書かれている側で、書いた本人たちが同じことを言っていることだ。グローヴ音楽事典の初版は、調的フーガの規則を列挙した直後にこう置いている。以上の規則は単純だが、それを適用するには大きな判断力が必要である、と。続けて、天才の洞察でなければ扱えない主題もある、とまで書く。規則を書いた側が、規則だけでは足りないと書いている。

If that's so, then what makes this collection work isn't the set of the seed and the operations by itself. Twelve notes and five operations are too simple, as rules, to account for what comes out of them. If this much comes from such a simple rule set, then the rules alone aren't what's producing it. It's likely both the rules and an understanding of how far those rules may be bent.

だとすると、この曲集を成り立たせているのは、種と操作の集合そのものではないことになる。十二音と五つの操作は、規則としては単純すぎる。単純な規則からこれだけのものが出てくるなら、出しているのは規則だけではない。規則と、その規則をどこまで緩めてよいかという了解と、その両方だろう。

Where that understanding is written down, I still don't know. At least, it isn't in the score. If it were, my detector would have caught it.

その了解がどこに書かれているのかは、まだ分からない。少なくとも譜面には書かれていない。書かれていたら、私の検出器が拾えていたはずである。